நேரம் மற்றும் தூரம் (Time and Distance)

நேரம், வேகம் மற்றும் தூரம் (Time, Speed, and Distance) பற்றிய இந்த அடிப்படைக் வழிகாட்டிக்கு வரவேற்கிறோம். ஏறக்குறைய அனைத்துப் போட்டித் தேர்வுகளுக்கும் இந்தத் தலைப்பு மிகவும் முக்கியமானது. இதில் தேர்ச்சி பெறுவது நீங்கள் நினைப்பதை விட மிகவும் எளிதானது.

🧠 Foundation: அடிப்படைக் கருத்தைப் புரிந்துகொள்ளுதல் (Understanding the Core Concept)

வேகம் என்றால் என்ன? (What is Speed?)

வேகம் (Speed) என்பது ஒரு பொருள் எவ்வளவு வேகமாக நகர்கிறது என்பதற்கான அளவீடு ஆகும். இது ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் ஒரு பொருள் கடந்து செல்லும் தூரத்தைக் குறிக்கிறது.

நிஜ வாழ்க்கை எடுத்துக்காட்டுகள் (Real-world examples):

• 🚶 நடப்பது (Walking): சுமார் 5 கி.மீ. தூரத்தை 1 மணி நேரத்தில் → வேகம் = 5 கி.மீ/மணி
• 🚲 மிதிவண்டி (Cycling): சுமார் 15 கி.மீ. தூரத்தை 1 மணி நேரத்தில் → வேகம் = 15 கி.மீ/மணி
• 🚗 கார் (Car): சுமார் 60 கி.மீ. தூரத்தை 1 மணி நேரத்தில் → வேகம் = 60 கி.மீ/மணி

முக்கிய சூத்திரம் (The Master Relationship)

இந்த தலைப்பு முழுவதும் ஒரே ஒரு எளிய, ஆனால் சக்திவாய்ந்த சூத்திரத்தை மையமாகக் கொண்டது.

முக்கிய சூத்திரம் (The Core Formula)

தூரம் = வேகம் × நேரம்
(Distance = Speed × Time)

இது எப்படி வேலை செய்கிறது? நீங்கள் 60 கி.மீ/மணி வேகத்தில் 3 மணி நேரம் பயணம் செய்வதாகக் கற்பனை செய்து கொள்ளுங்கள்.

• 1வது மணி நேரத்தில், நீங்கள் 60 கி.மீ. கடப்பீர்கள்.
• 2வது மணி நேரத்தில், மேலும் 60 கி.மீ. கடப்பீர்கள்.
• 3வது மணி நேரத்தில், மீண்டும் 60 கி.மீ. கடப்பீர்கள்.
• மொத்த தூரம் (Total Distance): 60 கி.மீ/மணி × 3 மணி = 180 கி.மீ.

---

Level 0: சூத்திரப் பயிற்சி (Formula Playground)

இந்த முக்கிய சூத்திரத்தின் பல்வேறு வடிவங்களைப் பற்றி இப்போது தெரிந்துகொள்வோம்.

சூத்திரத்தின் வகைகள் (Formula Variations)

கண்டுபிடிக்க வேண்டியது	சூத்திரம்	Formula
தூரம் (Distance)	வேகம் × நேரம்	Speed × Time
வேகம் (Speed)	தூரம் ÷ நேரம்	Distance ÷ Time
நேரம் (Time)	தூரம் ÷ வேகம்	Distance ÷ Speed

பயிற்சி வினாக்கள் (Practice Drills)

1. வேகம் = 60 கி.மீ/மணி, நேரம் = 3 மணி நேரம். தூரத்தைக் காண்க.

   • விடை: தூரம் = 60 × 3 = 180 கி.மீ

2. தூரம் = 240 கி.மீ, நேரம் = 4 மணி நேரம். வேகத்தைக் காண்க.

   • விடை: வேகம் = 240 ÷ 4 = 60 கி.மீ/மணி

3. தூரம் = 150 கி.மீ, வேகம் = 30 கி.மீ/மணி. நேரத்தைக் காண்க.

   • விடை: நேரம் = 150 ÷ 30 = 5 மணி நேரம்

---

⚙️ அலகு மாற்றம் (Unit Conversion Mastery)

மிக முக்கியமான திறன் (A Critical Skill)

இந்த தலைப்பில் ஏற்படும் 90% தவறுகள், தவறான அலகு மாற்றங்களால்தான் (incorrect unit conversions) நிகழ்கின்றன. அடுத்த பகுதிக்குச் செல்வதற்கு முன் இதில் தேர்ச்சி பெறுவது அவசியம்.

முக்கிய மாற்றுக் காரணிகள் (Key Conversion Factors)

• கி.மீ/மணி → மீ/வி: 5/18 ஆல் பெருக்கவும்.
• மீ/வி → கி.மீ/மணி: 18/5 ஆல் பெருக்கவும்.

5/18 என்பதன் தர்க்கம் (The Logic Behind 5/18)

இந்த குறிப்பிட்ட பின்னம் ஏன் பயன்படுத்தப்படுகிறது? இதைப் பிரித்துப் பார்ப்போம்:

• 1 கிலோமீட்டர் = 1000 மீட்டர்
• 1 மணி = 3600 வினாடிகள்

எனவே, 1 கி.மீ/மணி = 1000 மீட்டர் / 3600 வினாடிகள். இந்தப் பின்னத்தைச் சுருக்கும்போது 10/36 கிடைக்கும், அதை மேலும் சுருக்கினால் 5/18 கிடைக்கும்.

1 கி.மீ 1000 மீ 5 மீ ------- = --------- = ------ 1 மணி 3600 வி 18 வி

மாற்றுப் பயிற்சி (Conversion Practice)

6. 72 கி.மீ/மணி என்பதை மீ/வி ஆக மாற்றவும்.

   • விடை: 72 × (5/18) = 4 × 5 = 20 மீ/வி

7. 25 மீ/வி என்பதை கி.மீ/மணி ஆக மாற்றவும்.

   • விடை: 25 × (18/5) = 5 × 18 = 90 கி.மீ/மணி

8. 108 கி.மீ/மணி என்பதை மீ/வி ஆக மாற்றவும்.

   • விடை: 108 × (5/18) = 6 × 5 = 30 மீ/வி

---

Level 1: கேள்வியை அணுகும் முறை (Problem Reading Strategy)

G-F-V முறை

கணக்கைத் தீர்க்கத் தொடங்குவதற்கு முன், எப்போதும் இந்த மூன்று விஷயங்களை அடையாளம் காணுங்கள்:

G-F-V கட்டமைப்பு (Framework)

• Given (கொடுக்கப்பட்டவை): கேள்வியில் என்னென்ன தகவல்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன?
• Find (கண்டுபிடிக்க வேண்டியது): கேள்வி என்ன கேட்கிறது?
• Verify (சரிபார்த்தல்): அலகுகள் (units) சரியாக உள்ளதா?

எளிய வார்த்தைக் கணக்குகள் (Simple Word Problems)

11. ஒரு கார் 4 மணி நேரத்தில் 200 கி.மீ. பயணிக்கிறது. அதன் வேகம் என்ன?

    • Given: தூரம் = 200 கி.மீ, நேரம் = 4 மணி நேரம்
    • Find: வேகம்
    • Verify: அலகுகள் கி.மீ மற்றும் மணிநேரத்தில் உள்ளன. எனவே, விடை கி.மீ/மணியில் இருக்கும். அலகு மாற்றம் தேவையில்லை.
    • தீர்வு: வேகம் = 200 ÷ 4 = 50 கி.மீ/மணி

12. ஒரு ரயில் 80 கி.மீ/மணி வேகத்தில் 3 மணி நேரம் ஓடுகிறது. அது எவ்வளவு தூரம் கடக்கும்?

    • Given: வேகம் = 80 கி.மீ/மணி, நேரம் = 3 மணி நேரம்
    • Find: தூரம்
    • தீர்வு: தூரம் = 80 × 3 = 240 கி.மீ

13. ஒரு பேருந்து 90 கி.மீ/மணி வேகத்தில் 450 கி.மீ. தூரத்தைக் கடக்கிறது. இதற்கு எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?

    • Given: தூரம் = 450 கி.மீ, வேகம் = 90 கி.மீ/மணி
    • Find: நேரம்
    • தீர்வு: நேரம் = 450 ÷ 90 = 5 மணி நேரம்

---

Level 2: கணக்குகளின் வகையை அறிதல் (Pattern Recognition)

அடிப்படைக் கருத்துகளில் நீங்கள் தேர்ச்சி பெற்ற பிறகு, இப்போது மிக முக்கியமான திறனான கணக்கின் வகையை அடையாளம் காண்பதற்கு செல்வோம்.

முக்கிய கணக்கு வகைகள் (Key Problem Patterns)

கணக்கு வகை	ஆங்கில முக்கிய வார்த்தைகள்	முக்கிய கருத்து	தமிழ் விளக்கம்
சந்திப்பு/கடத்தல்	meet, approach, opposite	வேகங்களைக் கூட்ட வேண்டும்	சந்திப்பு / எதிர் திசை
முந்துதல்/பின்தொடர்தல்	catch up, overtake, same direction	வேகங்களைக் கழிக்க வேண்டும்	முந்துதல் / ஒரே திசை
படகு & நீரோட்டம்	downstream, upstream, current	நீரோட்டத்தின் வேகத்தை கூட்டுதல்/கழித்தல்	நீரோட்டம்
சராசரி வேகம்	multiple stages, different speeds	மொத்த தூரம் / மொத்த நேரம்	சராசரி வேகம்

---

வகை 1: சந்திப்புக் கணக்குகள் (Meeting/Crossing Problems)

முக்கிய வார்த்தைகள்: meet, approach, towards each other, opposite directions

முக்கிய கருத்து: இரண்டு பொருள்கள் ஒன்றுக்கொன்று எதிர் திசையில் நகரும்போது, அவற்றின் வேகம் இணைகிறது. அவற்றின் சார்பு வேகத்தை (Relative Speed) தனிப்பட்ட வேகங்களைக் கூட்டுவதன் மூலம் காணலாம்.

விளக்கப்படம் (Visual Diagram):

<--- இடையேயான தூரம் --->
A -----> <----- B
(A-யின் வேகம்) (B-யின் வேகம்)

சார்பு வேகம் (Relative Speed) = A-யின் வேகம் + B-யின் வேகம்

16. 100 மீ மற்றும் 150 மீ நீளமுள்ள இரண்டு ரயில்கள் முறையே 45 கி.மீ/மணி மற்றும் 55 கி.மீ/மணி வேகத்தில் எதிர் எதிர் திசைகளில் ஓடுகின்றன. அவை ஒன்றையொன்று முழுமையாகக் கடக்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?
    • கடக்கும் மொத்த தூரம்: ரயில்கள் ஒன்றையொன்று கடக்கும்போது, மொத்த தூரம் அவற்றின் நீளங்களின் கூடுதலாகும்.
      • தூரம் = 100 மீ + 150 மீ = 250 மீ
    • சார்பு வேகம் (Relative Speed): அவை எதிர் திசைகளில் செல்வதால், வேகங்களைக் கூட்ட வேண்டும்.
      • வேகம் = 45 + 55 = 100 கி.மீ/மணி
    • அலகு மாற்றம்: தூரம் மீட்டரில் இருப்பதால், வேகத்தை மீ/வி ஆக மாற்ற வேண்டும்.
      • 100 கி.மீ/மணி × (5/18) = 250/9 மீ/வி
    • நேரம்: நேரம் = தூரம் / வேகம்
      • நேரம் = 250 / (250/9) = 250 × (9/250) = 9 வினாடிகள்

---

வகை 2: பின்தொடர்தல் கணக்குகள் (Chasing/Overtaking Problems)

முக்கிய வார்த்தைகள்: catch up, overtake, same direction, chase

முக்கிய கருத்து: ஒரு பொருள் மற்றொன்றை ஒரே திசையில் துரத்தும்போது, அவற்றுக்கு இடையேயான தூரம் குறையும் வேகம், அவற்றின் வேகங்களின் வித்தியாசத்திற்கு சமம்.

விளக்கப்படம் (Visual Diagram): ஆரம்ப இடைவெளி: [ தூரம் ] திருடன் -----> (குறைந்த வேகம்)

காவலர் --------> (அதிக வேகம்)

சார்பு வேகம் (Relative Speed) = அதிக வேகம் - குறைந்த வேகம்

20. ஒரு திருடன் 200 மீ தொலைவில் ஒரு காவலரால் பார்க்கப்படுகிறான். அவர்களின் வேகம் முறையே 8 கி.மீ/மணி மற்றும் 10 கி.மீ/மணி எனில், காவலர் திருடனைப் பிடிக்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?
    • ஆரம்ப இடைவெளி (தூரம்): 200 மீ
    • சார்பு வேகம் (Relative Speed): அவர்கள் ஒரே திசையில் செல்வதால், வேகங்களைக் கழிக்க வேண்டும்.
      • வேகம் = 10 கி.மீ/மணி - 8 கி.மீ/மணி = 2 கி.மீ/மணி
    • அலகு மாற்றம்: தூரம் மீட்டரில் இருப்பதால் வேகத்தை மீ/வி ஆக மாற்றவும்.
      • 2 கி.மீ/மணி × (5/18) = 5/9 மீ/வி
    • நேரம்: நேரம் = தூரம் / வேகம்
      • நேரம் = 200 / (5/9) = 200 × (9/5) = 40 × 9 = 360 வினாடிகள்
    • இறுதி விடை: 360 வினாடிகள் = 6 நிமிடங்கள்

---

வகை 3: படகு மற்றும் நீரோட்டக் கணக்குகள் (Boats & Streams Problems)

முக்கிய வார்த்தைகள்: downstream, upstream, with current, against current

முக்கிய கருத்து: நீரோட்டம், படகின் உண்மையான வேகத்திற்கு உதவுகிறது (downstream) அல்லது தடுக்கிறது (upstream).

• நீரோட்டத்தின் திசையில் வேகம் (Downstream Speed): படகின் வேகம் + நீரோட்டத்தின் வேகம்
• நீரோட்டத்திற்கு எதிராக வேகம் (Upstream Speed): படகின் வேகம் - நீரோட்டத்தின் வேகம்

விளக்கப்படம் (Visual Diagram):

Downstream: படகு -----> + நீரோட்டம் -----> = அதிக வேகம்
Upstream: படகு -----> - <----- நீரோட்டம் = குறைந்த வேகம்

24. ஒரு படகு நீரோட்டத்தின் திசையில் 30 கி.மீ. தூரத்தை 2 மணி நேரத்திலும், நீரோட்டத்திற்கு எதிராக 18 கி.மீ. தூரத்தை 3 மணி நேரத்திலும் கடக்கிறது. ساکن நீரில் படகின் வேகம் மற்றும் நீரோட்டத்தின் வேகத்தைக் கண்டறியவும்.
    • Downstream வேகம் (D): 30 கி.மீ / 2 மணி = 15 கி.மீ/மணி
    • Upstream வேகம் (U): 18 கி.மீ / 3 மணி = 6 கி.மீ/மணி
    • சூத்திரங்கள் (Formulas):
      • படகின் வேகம் = (D + U) / 2
      • நீரோட்டத்தின் வேகம் = (D - U) / 2
    • படகின் வேகம்: (15 + 6) / 2 = 21 / 2 = 10.5 கி.மீ/மணி
    • நீரோட்டத்தின் வேகம்: (15 - 6) / 2 = 9 / 2 = 4.5 கி.மீ/மணி

---

Level 3: சிக்கலான கணக்குகள் மற்றும் சராசரி வேகம் (Advanced Scenarios & Average Speed)

முக்கிய வார்த்தைகள்: average speed, multiple stages, stops, return journey

பொதுவான தவறு (Common Trap!)

சராசரி வேகம் என்பது வேகங்களின் சராசரி அல்ல. இது எப்போதும் மொத்த தூரம் / மொத்த நேரம் ஆகும்.

28. ஒருவர் முதல் 120 கி.மீ தூரத்தை 60 கி.மீ/மணி வேகத்திலும், அடுத்த 120 கி.மீ தூரத்தை 40 கி.மீ/மணி வேகத்திலும், கடைசி 120 கி.மீ தூரத்தை 30 கி.மீ/மணி வேகத்திலும் பயணிக்கிறார். அவரது சராசரி வேகத்தைக் கண்டறியவும்.
    • மொத்த தூரம்: 120 + 120 + 120 = 360 கி.மீ
    • ஒவ்வொரு பகுதிக்கும் ஆகும் நேரத்தைக் கணக்கிடுக:
      • நேரம் 1 = 120 கி.மீ / 60 கி.மீ/மணி = 2 மணி நேரம்
      • நேரம் 2 = 120 கி.மீ / 40 கி.மீ/மணி = 3 மணி நேரம்
      • நேரம் 3 = 120 கி.மீ / 30 கி.மீ/மணி = 4 மணி நேரம்
    • மொத்த நேரம்: 2 + 3 + 4 = 9 மணி நேரம்
    • சராசரி வேகம்: மொத்த தூரம் / மொத்த நேரம் = 360 கி.மீ / 9 மணி = 40 கி.மீ/மணி

---

⚠️ பொதுவான தவறுகள் (Common Beginner Mistakes)

1. அலகு கலவை (Unit Mixing): கி.மீ/மணி என்பதை மீட்டர் அல்லது வினாடிகளுடன் மாற்றம் செய்யாமல் பயன்படுத்துவது.

   • சரிசெய்யும் வழி: கணக்கிடுவதற்கு முன்பு எப்போதும் அலகுகளை ஒரே மாதிரியாக (கி.மீ/மணி அல்லது மீ/வி) மாற்றவும்.

2. சராசரி வேகப் பிழை (Average Speed Error): (வேகம்1 + வேகம்2) / 2 என்று கணக்கிடுவது.

   • ❌ தவறு: 60 மற்றும் 40 வேகங்களுக்கு, சராசரி (60+40)/2 = 50.
   • ✅ சரி: நீங்கள் மொத்த தூரம் / மொத்த நேரம் என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

3. சார்பு வேகக் குழப்பம் (Relative Speed Confusion): கழிக்க வேண்டிய இடத்தில் வேகங்களைக் கூட்டுவது.

   • சரிசெய்யும் வழி:
     • எதிர் திசை → வேகங்களைக் கூட்டவும்.
     • ஒரே திசை → வேகங்களைக் கழிக்கவும்.

---

🚀 முக்கிய குறிப்புகள் (Key Takeaways)

1. அடிப்படைகள் முதலில் (Foundation First): தூரம் = வேகம் × நேரம் மற்றும் அலகு மாற்றங்களை (5/18) நன்கு கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.
2. கணக்கின் வகையை அடையாளம் காணுங்கள் (Identify the Pattern): தீர்க்கும் முன், இது சந்திப்பு, பின்தொடர்தல் அல்லது படகு கணக்கா என்று உங்களைக் கேட்டுக்கொள்ளுங்கள்.
3. அலகுகளைச் சரிபார்க்கவும் (Check Units): அனைத்து அலகுகளும் சீராக இருப்பதை எப்போதும் சரிபார்க்கவும்.
4. பகுத்தறிவு சரிபார்ப்பு (Logical Check): உங்கள் விடை நடைமுறைக்கு ஏற்றதாக உள்ளதா? (எ.கா., பிடிப்பதற்கான நேரம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது).

இறுதிக் குறிப்பு: இந்தத் தலைப்பில் வெற்றி பெறுவது ஒரு சூத்திரத்தைப் போன்றது: தேர்ச்சி = (வலுவான அடிப்படைகள் + கணக்கு வகையை அறிதல்) × தொடர்ச்சியான பயிற்சி

📝 பயிற்சிக் கேள்விகள் (Problems to Practice)

உங்கள் புரிதலைச் சோதிக்க கவனமாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இந்தக் கேள்விகளுக்கு விடையளிக்கவும். ஒவ்வொரு கேள்வியும் ஒரு குறிப்பிட்ட வகையை வலுப்படுத்தும் வகையில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

---

வகை 1: சந்திப்புக் கணக்குகள் பயிற்சி

கேள்வி 1

இரண்டு கார்கள் A மற்றும் B நகரங்களிலிருந்து ஒரே நேரத்தில் புறப்பட்டு ஒன்றையொன்று நோக்கிப் பயணிக்கின்றன. A-யிலிருந்து வரும் கார் 50 கி.மீ/மணி வேகத்திலும், B-யிலிருந்து வரும் கார் 70 கி.மீ/மணி வேகத்திலும் பயணிக்கின்றன. நகரங்களுக்கு இடையேயான தூரம் 360 கி.மீ எனில், எவ்வளவு நேரத்திற்குப் பிறகு அவை சந்திக்கும்?

தீர்வு: கணக்கு வகை: இது ஒரு சந்திப்பு/கடத்தல் கணக்கு (Meeting/Crossing Problem). ஏனெனில் இரண்டு பொருள்கள் வெவ்வேறு தொடக்கப் புள்ளிகளிலிருந்து "ஒன்றையொன்று நோக்கி" நகர்கின்றன.

படிப்படியான தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: கார் A-யின் வேகம் = 50 கி.மீ/மணி, கார் B-யின் வேகம் = 70 கி.மீ/மணி, நகரங்களுக்கு இடையேயான தூரம் = 360 கி.மீ
• கணக்கு விதி: பொருள்கள் ஒன்றையொன்று நோக்கி நகரும்போது → அவற்றின் வேகங்களைக் கூட்டவும்.
• சார்பு வேகம் (Relative Speed): 50 + 70 = 120 கி.மீ/மணி
• சந்திக்கும் நேரம்: தூரம் / சார்பு வேகம் = 360 கி.மீ / 120 கி.மீ/மணி = 3 மணி நேரம்

கேள்வி 2

150 மீ மற்றும் 200 மீ நீளமுள்ள இரண்டு ரயில்கள் முறையே 40 கி.மீ/மணி மற்றும் 50 கி.மீ/மணி வேகத்தில் ஒன்றையொன்று நோக்கி ஓடுகின்றன. எத்தனை வினாடிகளில் அவை ஒன்றையொன்று முழுமையாகக் கடக்கும்?

தீர்வு: கணக்கு வகை: இது ஒரு சந்திப்பு/கடத்தல் கணக்கு. ஏனெனில் இரண்டு ரயில்கள் "ஒன்றையொன்று நோக்கி" நகர்கின்றன, நாம் கடக்கும் நேரத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

படிப்படியான தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: ரயில் 1 நீளம் = 150 மீ, ரயில் 2 நீளம் = 200 மீ, வேகம் 1 = 40 கி.மீ/மணி, வேகம் 2 = 50 கி.மீ/மணி
• கடக்கும் மொத்த தூரம்: நீளங்களின் கூடுதல் = 150 மீ + 200 மீ = 350 மீ
• கணக்கு விதி: ரயில்கள் ஒன்றையொன்று நோக்கி நகரும்போது → வேகங்களைக் கூட்டவும்.
• கூட்டு வேகம் (Combined Speed): 40 + 50 = 90 கி.மீ/மணி
• அலகு மாற்றம்: 90 கி.மீ/மணி × (5/18) = 25 மீ/வி
• கடக்கும் நேரம்: 350 மீ / 25 மீ/வி = 14 வினாடிகள்

கேள்வி 3

A மற்றும் B ஆகிய இருவரும் காலை 9 மணிக்கு 15 கி.மீ தொலைவில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகளிலிருந்து ஒருவரையொருவர் நோக்கி நடக்கத் தொடங்குகிறார்கள். A 4 கி.மீ/மணி வேகத்திலும், B 5 கி.மீ/மணி வேகத்திலும் நடக்கிறார்கள். அவர்கள் எந்த நேரத்தில் சந்திப்பார்கள்?

தீர்வு: கணக்கு வகை: இது ஒரு சந்திப்பு/கடத்தல் கணக்கு. ஏனெனில் A மற்றும் B வெவ்வேறு புள்ளிகளிலிருந்து "ஒருவரையொருவர் நோக்கி" நடக்கிறார்கள்.

படிப்படியான தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: ஆரம்ப தூரம் = 15 கி.மீ, A-யின் வேகம் = 4 கி.மீ/மணி, B-யின் வேகம் = 5 கி.மீ/மணி, தொடங்கும் நேரம் = காலை 9 மணி
• கணக்கு விதி: ஒருவரையொருவர் நோக்கி நகரும்போது → வேகங்களைக் கூட்டவும்.
• கூட்டு வேகம்: 4 + 5 = 9 கி.மீ/மணி
• சந்திக்கும் நேரம்: 15 கி.மீ / 9 கி.மீ/மணி = 5/3 மணி நேரம் = 1 மணி 40 நிமிடங்கள்
• சந்திக்கும் நேரம்: 9:00 AM + 1:40 = 10:40 AM

---

வகை 2: பின்தொடர்தல் கணக்குகள் பயிற்சி

கேள்வி 4

8 கி.மீ/மணி வேகத்தில் ஓடும் ஒரு திருடனை, 10 கி.மீ/மணி வேகத்தில் ஓடும் ஒரு காவலர் துரத்துகிறார். ஆரம்பத்தில் காவலர் 100 மீ பின்தங்கியிருந்தால், திருடனைப் பிடிக்க அவருக்கு எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?

தீர்வு: கணக்கு வகை: இது ஒரு பின்தொடர்தல்/முந்துதல் கணக்கு (Chasing/Overtaking Problem). ஏனெனில் காவலர் திருடனைத் துரத்துகிறார், இருவரும் ஒரே திசையில் செல்கின்றனர்.

படிப்படியான தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: திருடன் வேகம் = 8 கி.மீ/மணி, காவலர் வேகம் = 10 கி.மீ/மணி, ஆரம்ப இடைவெளி = 100 மீ
• கணக்கு விதி: ஒரே திசையில் இயக்கம் → வேகங்களைக் கழிக்கவும்.
• சார்பு வேகம் (Relative Speed): 10 - 8 = 2 கி.மீ/மணி
• அலகு மாற்றம்: 2 கி.மீ/மணி × (5/18) = 5/9 மீ/வி
• பிடிக்க ஆகும் நேரம்: 100 மீ / (5/9) மீ/வி = 100 × (9/5) = 180 வினாடிகள் = 3 நிமிடங்கள்

கேள்வி 5

இரண்டு ரயில்கள் ஒரே திசையில் பயணிக்கின்றன. ரயில் A 300 மீ நீளமும், 72 கி.மீ/மணி வேகத்திலும் பயணிக்கிறது. ரயில் B 200 மீ நீளமும், 54 கி.மீ/மணி வேகத்திலும் பயணிக்கிறது. ரயில் A, ரயில் B-ஐ முழுவதுமாக முந்திச் செல்ல எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?

தீர்வு: கணக்கு வகை: இது ஒரு பின்தொடர்தல்/முந்துதல் கணக்கு. ஏனெனில் இரண்டு ரயில்களும் ஒரே திசையில் செல்கின்றன, வேகமான ரயில் மெதுவான ரயிலை முந்திச் செல்கிறது.

படிப்படியான தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: ரயில் A நீளம் = 300 மீ, வேகம் A = 72 கி.மீ/மணி, ரயில் B நீளம் = 200 மீ, வேகம் B = 54 கி.மீ/மணி
• மொத்த தூரம்: முழுமையாக முந்திச் செல்ல = 300 மீ + 200 மீ = 500 மீ
• கணக்கு விதி: ஒரே திசை → வேகங்களைக் கழிக்கவும்.
• சார்பு வேகம்: 72 - 54 = 18 கி.மீ/மணி
• அலகு மாற்றம்: 18 கி.மீ/மணி × (5/18) = 5 மீ/வி
• முந்திச் செல்ல ஆகும் நேரம்: 500 மீ / 5 மீ/வி = 100 வினாடிகள்

கேள்வி 6

ஓட்டப்பந்தய வீரர் A காலை 8 மணிக்கு 6 கி.மீ/மணி வேகத்தில் ஓடத் தொடங்குகிறார். வீரர் B காலை 9 மணிக்கு அதே புள்ளியிலிருந்து அதே திசையில் 8 கி.மீ/மணி வேகத்தில் ஓடத் தொடங்குகிறார். B எப்போது A-ஐப் பிடிப்பார்?

தீர்வு: கணக்கு வகை: இது ஒரு பின்தொடர்தல்/முந்துதல் கணக்கு. ஏனெனில் B, A-ஐத் துரத்துகிறார், இருவரும் ஒரே திசையில் ஓடுகிறார்கள், ஆனால் A ஓடத் தொடங்குகிறார்.

படிப்படியான தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: A காலை 8 மணிக்கு 6 கி.மீ/மணி வேகத்தில் தொடங்குகிறார், B காலை 9 மணிக்கு 8 கி.மீ/மணி வேகத்தில் தொடங்குகிறார்.
• A-யின் தொடக்க முன்னிலை: B தொடங்குவதற்கு 1 மணி நேரம் முன்பு A ஓடுகிறார்.
• A கடந்த தூரம்: 6 கி.மீ/மணி × 1 மணி = 6 கி.மீ (ஆரம்ப இடைவெளி)
• கணக்கு விதி: ஒரே திசை → வேகங்களைக் கழிக்கவும்.
• சார்பு வேகம்: 8 - 6 = 2 கி.மீ/மணி
• B பிடிக்க ஆகும் நேரம்: 6 கி.மீ / 2 கி.மீ/மணி = 3 மணி நேரம் (B தொடங்கிய பிறகு)
• சந்திக்கும் நேரம்: 9:00 AM + 3:00 = 12:00 PM (மதியம்)

---

வகை 3: படகு மற்றும் நீரோட்டக் கணக்குகள் பயிற்சி

கேள்வி 7

ஒரு மோட்டார் படகு நீரோட்டத்தின் திசையில் 20 கி.மீ தூரத்தை 2 மணி நேரத்திலும், அதே தூரத்தை நீரோட்டத்திற்கு எதிராக 4 மணி நேரத்திலும் கடக்கிறது. நீரில் படகின் வேகம் மற்றும் நீரோட்டத்தின் வேகத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: கணக்கு வகை: இது ஒரு படகு மற்றும் நீரோட்டக் கணக்கு (Boats & Streams Problem). ஏனெனில் இது நீரோட்டத்தின் திசையிலும், எதிர் திசையிலும் படகின் இயக்கத்தை உள்ளடக்கியது.

படிப்படியான தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: Downstream: 20 கி.மீ 2 மணி நேரத்தில், Upstream: 20 கி.மீ 4 மணி நேரத்தில்
• செயல் வேகங்களைக் கணக்கிடுக:
  • Downstream வேகம் = 20 கி.மீ / 2 மணி = 10 கி.மீ/மணி
  • Upstream வேகம் = 20 கி.மீ / 4 மணி = 5 கி.மீ/மணி
• கணக்கு சூத்திரங்கள்:
  • நீரில் படகின் வேகம் = (Downstream + Upstream) / 2
  • நீரோட்டத்தின் வேகம் = (Downstream - Upstream) / 2
• படகின் வேகம்: (10 + 5) / 2 = 7.5 கி.மீ/மணி
• நீரோட்டத்தின் வேகம்: (10 - 5) / 2 = 2.5 கி.மீ/மணி

கேள்வி 8

ஒரு நீச்சல் வீரர் நீரில் 4 கி.மீ/மணி வேகத்தில் நீந்தக்கூடியவர். ஆற்றின் நீரோட்டம் 2 கி.மீ/மணி எனில், அவர் 9 கி.மீ தூரம் நீரோட்டத்தின் திசையில் நீந்தி, மீண்டும் புறப்பட்ட இடத்திற்குத் திரும்ப எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?

தீர்வு: கணக்கு வகை: இது ஒரு படகு மற்றும் நீரோட்டக் கணக்கு. இது நீரோட்டத்தின் திசை மற்றும் எதிர் திசையில் ஒரு சுற்றுப் பயணத்தை உள்ளடக்கியது.

படிப்படியான தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: நீச்சல் வேகம் = 4 கி.மீ/மணி, நீரோட்ட வேகம் = 2 கி.மீ/மணி, ஒவ்வொரு திசையிலும் தூரம் = 9 கி.மீ
• செயல் வேகங்களைக் கணக்கிடுக:
  • Downstream வேகம் = 4 + 2 = 6 கி.மீ/மணி
  • Upstream வேகம் = 4 - 2 = 2 கி.மீ/மணி
• நேரத்தைக் கணக்கிடுக:
  • Downstream நேரம் = 9 கி.மீ / 6 கி.மீ/மணி = 1.5 மணி நேரம்
  • Upstream நேரம் = 9 கி.மீ / 2 கி.மீ/மணி = 4.5 மணி நேரம்
• மொத்த நேரம்: 1.5 + 4.5 = 6 மணி நேரம்

கேள்வி 9

ஒரு விமானம் காற்றின் திசையில் 600 கி.மீ தூரத்தை 2 மணி நேரத்திலும், காற்றுக்கு எதிராக 400 கி.மீ தூரத்தை 2 மணி நேரத்திலும் பறக்கிறது. காற்றில் விமானத்தின் வேகம் மற்றும் காற்றின் வேகத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: கணக்கு வகை: இது படகு மற்றும் நீரோட்டக் கணக்கின் (விமான வடிவம்). ஏனெனில் நீரோட்டம் படகைப் பாதிப்பது போல, காற்று விமானத்தின் செயல் வேகத்தைப் பாதிக்கிறது.

படிப்படியான தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: காற்றின் திசையில்: 600 கி.மீ 2 மணி நேரத்தில், காற்றுக்கு எதிராக: 400 கி.மீ 2 மணி நேரத்தில்
• செயல் வேகங்களைக் கணக்கிடுக:
  • காற்றின் திசையில் வேகம் = 600 கி.மீ / 2 மணி = 300 கி.மீ/மணி
  • காற்றுக்கு எதிராக வேகம் = 400 கி.மீ / 2 மணி = 200 கி.மீ/மணி
• கணக்கு சூத்திரங்கள்:
  • விமானத்தின் வேகம் = (காற்றின் திசையில் + காற்றுக்கு எதிராக) / 2
  • காற்றின் வேகம் = (காற்றின் திசையில் - காற்றுக்கு எதிராக) / 2
• விமானத்தின் வேகம்: (300 + 200) / 2 = 250 கி.மீ/மணி
• காற்றின் வேகம்: (300 - 200) / 2 = 50 கி.மீ/மணி

---

வகை 4: சராசரி வேகக் கணக்குகள் பயிற்சி

கேள்வி 10

ஒரு கார் பயணத்தின் முதல் பாதியை 40 கி.மீ/மணி வேகத்திலும், இரண்டாம் பாதியை 60 கி.மீ/மணி வேகத்திலும் பயணிக்கிறது. முழு பயணத்திற்கான சராசரி வேகத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: கணக்கு வகை: இது ஒரு சராசரி வேகக் கணக்கு (Average Speed Problem). இதில் சம தூரங்களுக்கு இரண்டு வெவ்வேறு வேகங்கள் உள்ளன.

படிப்படியான தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: முதல் பாதி 40 கி.மீ/மணி, இரண்டாம் பாதி 60 கி.மீ/மணி
• முக்கிய கருத்து: சம தூரங்களுக்கு, வேகங்களைச் சாதாரணமாக சராசரி எடுக்க முடியாது.
• மொத்த தூரத்தை ஊகிக்கவும்: மொத்த தூரம் = 120 கி.மீ (40 மற்றும் 60-ன் மீ.சி.ம (LCM) எளிதான கணக்கீட்டிற்கு)
• நேரத்தைக் கணக்கிடுக:
  • முதல் பாதிக்கான நேரம் (60 கி.மீ) = 60 கி.மீ / 40 கி.மீ/மணி = 1.5 மணி நேரம்
  • இரண்டாம் பாதிக்கான நேரம் (60 கி.மீ) = 60 கி.மீ / 60 கி.மீ/மணி = 1 மணி நேரம்
• மொத்த நேரம்: 1.5 + 1 = 2.5 மணி நேரம்
• சராசரி வேகம்: மொத்த தூரம் / மொத்த நேரம் = 120 கி.மீ / 2.5 மணி = 48 கி.மீ/மணி
• குறுக்குவழி சூத்திரம்: சம தூரங்களுக்கு: சராசரி வேகம் = (2 × S1 × S2) / (S1 + S2) = (2 × 40 × 60) / (40 + 60) = 4800 / 100 = 48 கி.மீ/மணி

கேள்வி 11

ஒருவர் 30 நிமிடங்களில் 3 கி.மீ நடக்கிறார், பின்னர் 20 நிமிடங்களில் 6 கி.மீ ஓடுகிறார், பின்னர் மீண்டும் 40 நிமிடங்களில் 3 கி.மீ நடக்கிறார். முழு பயணத்திற்கான அவரது சராசரி வேகத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: கணக்கு வகை: இது ஒரு சராசரி வேகக் கணக்கு. இதில் வெவ்வேறு வேகம் மற்றும் நேரங்களைக் கொண்ட பல பகுதிகள் உள்ளன.

படிப்படியான தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: 30 நிமிடங்களில் 3 கி.மீ நடை, 20 நிமிடங்களில் 6 கி.மீ ஓட்டம், 40 நிமிடங்களில் 3 கி.மீ நடை
• கணக்கு விதி: சராசரி வேகம் = மொத்த தூரம் / மொத்த நேரம்
• மொத்தங்களைக் கணக்கிடுக:
  • மொத்த தூரம் = 3 + 6 + 3 = 12 கி.மீ
  • மொத்த நேரம் = 30 + 20 + 40 = 90 நிமிடங்கள் = 1.5 மணி நேரம்
• சராசரி வேகம்: 12 கி.மீ / 1.5 மணி = 8 கி.மீ/மணி

கேள்வி 12

ஒரு பேருந்து A நகரத்திலிருந்து B நகரத்திற்கு 45 கி.மீ/மணி வேகத்திலும், B-யிலிருந்து A-க்கு 55 கி.மீ/மணி வேகத்திலும் திரும்புகிறது. மொத்த பயண நேரம் 10 மணி நேரம் எனில், நகரங்களுக்கு இடையேயான தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: கணக்கு வகை: இது ஒரு சராசரி வேகக் கணக்கு. இதில் ஒவ்வொரு திசையிலும் வெவ்வேறு வேகங்களைக் கொண்ட ஒரு சுற்றுப் பயணம் அடங்கும்.

படிப்படியான தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: வேகம் A to B = 45 கி.மீ/மணி, வேகம் B to A = 55 கி.மீ/மணி, மொத்த நேரம் = 10 மணி நேரம்
• நகரங்களுக்கு இடையேயான தூரம் = d கி.மீ என வைத்துக்கொள்வோம்
• நேரத்தைக் கணக்கிடுக:
  • நேரம் A to B = d / 45 மணி
  • நேரம் B to A = d / 55 மணி
• சமன்பாட்டை அமைக்கவும்: மொத்த நேரம் = நேரம் A to B + நேரம் B to A
  • 10 = d/45 + d/55
• d-ஐக் கண்டறியவும்:
  • 10 = d(1/45 + 1/55) = d(55 + 45)/(45 × 55) = d(100)/2475
  • d = 10 × 2475 / 100 = 24750 / 100 = 247.5 கி.மீ

---

பயிற்சி உத்தி (Practice Strategy)

1. கணக்கு வகையை முதலில் அடையாளம் காணுதல்: கணக்கிடுவதற்கு முன்பு எப்போதும் கணக்கின் வகையை அடையாளம் காணுங்கள்.
2. சரியான சூத்திரத்தைத் தேர்ந்தெடுத்தல்: கணக்கின் வகைக்கு ஏற்ப பொருத்தமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
3. அலகுகளின் சீரான தன்மை: இறுதி கணக்கீட்டிற்கு முன்பு அனைத்து அலகுகளும் பொருந்துகின்றனவா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.
4. பகுத்தறிவு சரிபார்ப்பு: உங்கள் விடை நடைமுறைக்கு ஏற்றதாக உள்ளதா?