Simplification - Problems on Numbers (சுருக்குதல் - எண்கள் தொடர்பான கணக்குகள்)

Overview: Simplification (கண்ணோட்டம்: சுருக்குதல்)

tip

This category involves problems related to finding unknown numbers or values by setting up and solving algebraic equations. The key is to translate the word problem into a mathematical expression and then simplify it to find the solution. The BODMAS rule is fundamental for simplification.

வரையறை (Definition)

சுருக்குதல் (Simplification): சுருக்குதல் என்பது எளிமையாக்குதல். கணிதத்தில், எளிமை அல்லது எளிமைப்படுத்துதல் என்பது ஒரு வெளிப்பாடு அல்லது கணக்கை எளிமையான வடிவத்திற்கு குறைப்பதாகும். ஒரு கணக்கை எளிமைப்படுத்த தேவையான செயல்பாடுகளை ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட வரிசையில் வைப்பதே BODMAS விதியாகும்.

• B - Bracket (அடைப்புக்குறி)
• O - Of (இன்/பெருக்கல்)
• D - Division (வகுத்தல்)
• M - Multiplication (பெருக்கல்)
• A - Addition (கூட்டல்)
• S - Subtraction (கழித்தல்)

இயற்கணிதம் (Algebra): இயற்கணிதம் என்பது கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும். இதில் எண் கணித செயல்பாடுகள் குறிப்பிட்ட எண்களுக்குப் பதிலாக சுருக்கக் குறியீடுகளைக் (variables like x, y) கொண்டு கையாளப்படுகின்றன.

Example Problem (எடுத்துக்காட்டு கணக்கு)

கேள்வி: ஓர் எண்ணின் 5 மடங்கிலிருந்து 10-ஐக் கழித்தால் 40 கிடைக்கிறது எனில், அந்த எண்ணைக் காண்க. (If 10 is subtracted from 5 times a number, the result is 40. Find the number.)

தீர்வு (Solution):

1. Step 1: Let the unknown number be $x$. (அந்த எண் $x$ என்க.)
2. Step 2: Form an equation from the problem statement. (கணக்கின்படி சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்.) "5 times a number" translates to $5x$. "10 is subtracted from it" translates to $5x - 10$. "the result is 40" translates to $5x - 10 = 40$.
3. Step 3: Solve the equation for $x$. (சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.) $$5x - 10 = 40$$ $$5x = 40 + 10$$ $$5x = 50$$ $$x = \frac{50}{5}$$ $$x = 10$$
4. Step 4: The required number is 10. (தேவையான எண் 10 ஆகும்.)

---

1. இரண்டு எண்களின் கூடுதல் 60. மேலும் அவற்றுள் ஓர் எண் மற்றோர் எண்ணைவிட 12 அதிகம் எனில், அந்த எண்களைக் காண்க.

   • a) 21, 39
   • b) 24, 36
   • c) 22, 38
   • d) 20, 40

   Answer: b) 24, 36

   Solution

   சிறிய எண் $x$ என்க. பெரிய எண் $x + 12$ என்க. இரண்டு எண்களின் கூடுதல் = 60.

   $$x + (x + 12) = 60$$ $$2x + 12 = 60$$ $$2x = 60 - 12$$ $$2x = 48$$ $$x = \frac{48}{2} = 24$$

   சிறிய எண் $x = 24$. பெரிய எண் $x + 12 = 24 + 12 = 36$.

   Why this question belongs to Simplification

   This question involves keywords like 'கூடுதல்' (sum) and 'அதிகம்' (more), which requires setting up and solving a linear algebraic equation to find the unknown numbers.

2. இரண்டு எண்களின் கூடுதல் 116. மேலும் அவற்றுள் ஓர் எண் மற்றோர் எண்ணைவிட 32 அதிகம் எனில், அந்த எண்களைக் காண்க.

   • a) 42, 74
   • b) 51, 65
   • c) 71, 45
   • d) 38, 88

   Answer: a) 42, 74

   Solution

   சிறிய எண் $x$ என்க. பெரிய எண் $x + 32$ என்க. இரண்டு எண்களின் கூடுதல் = 116.

   $$x + (x + 32) = 116$$ $$2x + 32 = 116$$ $$2x = 116 - 32$$ $$2x = 84$$ $$x = \frac{84}{2} = 42$$

   சிறிய எண் $x = 42$. பெரிய எண் $x + 32 = 42 + 32 = 74$.

   Why this question belongs to Simplification

   This problem requires finding two numbers based on their 'கூடுதல்' (sum) and the fact that one is 'அதிகம்' (more) than the other, which is a classic application of linear equation simplification.

3. இரண்டு எண்களின் கூடுதல் 80. மேலும் அவற்றுள் ஓர் எண் மற்றோர் எண்ணைவிட 14 குறைவு எனில், அந்த எண்களைக் காண்க.

   • a) 38, 42
   • b) 30, 50
   • c) 28, 52
   • d) 33, 47

   Answer: d) 33, 47

   Solution

   பெரிய எண் $x$ என்க. சிறிய எண் $x - 14$ என்க. இரண்டு எண்களின் கூடுதல் = 80.

   $$x + (x - 14) = 80$$ $$2x - 14 = 80$$ $$2x = 80 + 14$$ $$2x = 94$$ $$x = \frac{94}{2} = 47$$

   பெரிய எண் $x = 47$. சிறிய எண் $x - 14 = 47 - 14 = 33$.

   Why this question belongs to Simplification

   This question uses the keywords 'கூடுதல்' (sum) and 'குறைவு' (less), requiring the setup of an algebraic equation to find the unknown numbers.

4. இரண்டு எண்களின் கூடுதல் 207. மேலும் அவற்றுள் ஓர் எண் மற்றோர் எண்ணைவிட 53 குறைவு எனில், அந்த எண்களைக் காண்க.

   • a) 119, 66
   • b) 140, 87
   • c) 130, 73
   • d) 148, 95

   Answer: c) 130, 73

   Solution

   பெரிய எண் $x$ என்க. சிறிய எண் $x - 53$ என்க. இரண்டு எண்களின் கூடுதல் = 207.

   $$x + (x - 53) = 207$$ $$2x - 53 = 207$$ $$2x = 207 + 53$$ $$2x = 260$$ $$x = \frac{260}{2} = 130$$

   பெரிய எண் $x = 130$. சிறிய எண் $x - 53 = 130 - 53 = 73$.

   Why this question belongs to Simplification

   This problem involves finding unknown numbers using their 'கூடுதல்' (sum) and difference ('குறைவு'), which is solved by forming and simplifying a linear equation.

5. ஓர் எண் மற்றோர் எண்ணின் 12 மடங்கு ஆகும். அவற்றின் வித்தியாசம் 143, எனில், அந்த அவ்வெண்களைக் காண்க.

   • a) 15, 158
   • b) 12, 155
   • c) 12, 157
   • d) 13, 156

   Answer: d) 13, 156

   Solution

   முதல் எண்ணை $x$ என்க. இரண்டாவது எண்ணை $12x$ என்க. வித்தியாசம் = 143.

   $$12x - x = 143$$ $$11x = 143$$ $$x = \frac{143}{11} = 13$$

   முதல் எண் $x = 13$. இரண்டாவது எண் $12x = 12 \times 13 = 156$.

   Why this question belongs to Simplification

   This question uses relationships like 'மடங்கு' (times/multiple) and 'வித்தியாசம்' (difference) to define the numbers, leading to an algebraic equation that needs simplification.

6. ஓர் எண் மற்றோர் எண்ணின் பாதி ஆகும். அவற்றின் வித்தியாசம் 51, எனில், அந்த அவ்வெண்களைக் காண்க.

   • a) 102, 51
   • b) 106, 53
   • c) 98, 47
   • d) 88, 37

   Answer: a) 102, 51

   Solution

   முதல் எண்ணை $x$ என்க. இரண்டாவது எண்ணை $\frac{x}{2}$ என்க. வித்தியாசம் = 51.

   $$x - \frac{x}{2} = 51$$ $$\frac{2x - x}{2} = 51$$ $$\frac{x}{2} = 51$$ $$x = 51 \times 2 = 102$$

   முதல் எண் $x = 102$. இரண்டாவது எண் $\frac{x}{2} = \frac{102}{2} = 51$.

   Why this question belongs to Simplification

   This problem involves a fractional relationship ('பாதி' - half) and a 'வித்தியாசம்' (difference), requiring the simplification of an equation with fractions.

7. ஒரு பேருந்தில் உள்ள 67 பயணிகளில் சில பேர் ₹6-க்கான பயணச்சீட்டையும், மீதி உள்ளவர்கள் ₹12-க்கான பயணச்சீட்டையும் பெற்று உள்ளனர். பயணிகளிடம் இருந்து பயணச்சீட்டு கட்டணமாக ₹582 பெறப்பட்டுள்ளது எனில், ₹6-க்கான பயணச் சீட்டு வைத்திருப்பவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

   • a) 30
   • b) 31
   • c) 35
   • d) 37

   Answer: d) 37

   Solution

   ₹6-க்கான பயணச் சீட்டைப் பெற்றிருக்கும் பயணிகளின் எண்ணிக்கை $x$ என்க. ₹12-க்கான பயணச் சீட்டைப் பெற்றிருக்கும் பயணிகளின் எண்ணிக்கை $67 - x$ என்க. மொத்த பயணச்சீட்டு தொகை = ₹582.

   $$(x \times 6) + ((67 - x) \times 12) = 582$$ $$6x + 804 - 12x = 582$$ $$804 - 6x = 582$$ $$804 - 582 = 6x$$ $$222 = 6x$$ $$x = \frac{222}{6} = 37$$

   ₹6-க்கான பயணச் சீட்டு வைத்துள்ள பயணிகளின் எண்ணிக்கை $x = 37$ பயணிகள்.

   Why this question belongs to Simplification

   This is a word problem that translates into a linear equation involving total cost and number of items, a common application of simplification.

8. ஒரு பேருந்தில் உள்ள 40 பயணிகளில் சில பேர் ₹7-க்கான பயணச்சீட்டையும், மீதி உள்ளவர்கள் ₹11-க்கான பயணச்சீட்டையும் பெற்று உள்ளனர். பயணிகளிடம் இருந்து பயணச்சீட்டு கட்டணமாக ₹332 பெறப்பட்டுள்ளது எனில், ₹11-க்கான பயணச் சீட்டு வைத்திருப்பவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

   • a) 13
   • b) 14
   • c) 17
   • d) 19

   Answer: a) 13

   Solution

   ₹7-க்கான பயணச் சீட்டைப் பெற்றிருக்கும் பயணிகளின் எண்ணிக்கை $x$ என்க. ₹11-க்கான பயணச் சீட்டைப் பெற்றிருக்கும் பயணிகளின் எண்ணிக்கை $40 - x$ என்க. மொத்த பயணச்சீட்டு தொகை = ₹332.

   $$(x \times 7) + ((40 - x) \times 11) = 332$$ $$7x + 440 - 11x = 332$$ $$440 - 4x = 332$$ $$440 - 332 = 4x$$ $$108 = 4x$$ $$x = \frac{108}{4} = 27$$

   ₹7-க்கான பயணச் சீட்டு வைத்துள்ள பயணிகளின் எண்ணிக்கை $x = 27$ பயணிகள். ₹11-க்கான பயணச் சீட்டு வைத்துள்ள பயணிகளின் எண்ணிக்கை = $40 - x = 40 - 27 = 13$ பயணிகள்.

   Why this question belongs to Simplification

   This problem requires setting up a linear equation based on the total number of passengers and total ticket revenue, then simplifying it to find the unknown quantities.

9. ₹2 மற்றும் ₹10 மதிப்புகளை மட்டுமே கொண்ட 50 பணத்தாள்கள் உள்ளன. அதன் மதிப்பு ₹140 எனில், ₹2 மதிப்புடைய பணத்தாள்கள் எத்தனை உள்ளன எனக் காண்க.

   • a) 42
   • b) 40
   • c) 45
   • d) 43

   Answer: c) 45

   Solution

   ₹2 மதிப்புடைய பணத்தாள்களின் எண்ணிக்கையை $x$ என்க. ₹10 மதிப்புடைய பணத்தாள்களின் எண்ணிக்கையை $50 - x$ என்க. மொத்த மதிப்பு = ₹140.

   $$(x \times 2) + ((50 - x) \times 10) = 140$$ $$2x + 500 - 10x = 140$$ $$500 - 8x = 140$$ $$500 - 140 = 8x$$ $$360 = 8x$$ $$x = \frac{360}{8} = 45$$

   ₹2 மதிப்புடைய பணத்தாள்களின் எண்ணிக்கை $x = 45$.

   Why this question belongs to Simplification

   This question about currency notes ('பணத்தாள்கள்') and their total value ('மதிப்பு') is a classic word problem solved by creating and simplifying a linear equation.

10. ₹20 மற்றும் ₹50 மதிப்புகளை மட்டுமே கொண்ட 110 பணத்தாள்கள் உள்ளன. அதன் மதிப்பு ₹4300 எனில், ₹50 மதிப்புடைய பணத்தாள்கள் எத்தனை உள்ளன எனக் காண்க.

    • a) 35
    • b) 40
    • c) 70
    • d) 60

    Answer: c) 70

    Solution

    ₹20 மதிப்புடைய பணத்தாள்களின் எண்ணிக்கையை $x$ என்க. ₹50 மதிப்புடைய பணத்தாள்களின் எண்ணிக்கையை $110 - x$ என்க. மொத்த மதிப்பு = ₹4300.

    $$(x \times 20) + ((110 - x) \times 50) = 4300$$ $$20x + 5500 - 50x = 4300$$ $$5500 - 30x = 4300$$ $$5500 - 4300 = 30x$$ $$1200 = 30x$$ $$x = \frac{1200}{30} = 40$$

    ₹20 மதிப்புடைய பணத்தாள்களின் எண்ணிக்கை $x = 40$. ₹50 மதிப்புடைய பணத்தாள்களின் எண்ணிக்கை = $110 - x = 110 - 40 = 70$ பணத்தாள்கள்.

    Why this question belongs to Simplification

    This problem involves different denominations of currency notes and their total value, which requires forming and simplifying a linear equation.

11. அடுத்தடுத்து இரு இயல் எண்களின் கூடுதல் 83 எனில், அவ்விரு எண்களைக் காண்க.

    • a) 41, 42
    • b) 37, 38
    • c) 37, 46
    • d) 42, 43

    Answer: a) 41, 42

    Solution

    கொடுக்கப்பட்ட எண்கள் இயல் எண்கள் மற்றும் அடுத்தடுத்து வருபவை. அந்த எண்களை $x$ மற்றும் $x + 1$ என்க.

    $$x + (x + 1) = 83$$ $$2x + 1 = 83$$ $$2x = 83 - 1$$ $$2x = 82$$ $$x = \frac{82}{2} = 41$$

    முதல் எண் $x = 41$. அடுத்த எண் $x + 1 = 41 + 1 = 42$. எனவே, தேவையான எண்கள் 41 மற்றும் 42 ஆகும்.

    Why this question belongs to Simplification

    This question deals with 'இயல் எண்கள்' (natural numbers) and their 'கூடுதல்' (sum), which is a straightforward problem of solving a simple linear equation.

12. அடுத்தடுத்து இரு இயல் எண்களின் கூடுதல் 225 எனில், அவ்விரு எண்களைக் காண்க.

    • a) 105, 115
    • b) 112, 113
    • c) 100, 125
    • d) 111, 112

    Answer: b) 112, 113

    Solution

    கொடுக்கப்பட்ட எண்கள் இயல் எண்கள் மற்றும் அடுத்தடுத்து வருபவை. அந்த எண்களை $x$ மற்றும் $x + 1$ என்க.

    $$x + (x + 1) = 225$$ $$2x + 1 = 225$$ $$2x = 225 - 1$$ $$2x = 224$$ $$x = \frac{224}{2} = 112$$

    முதல் எண் $x = 112$. அடுத்த எண் $x + 1 = 112 + 1 = 113$. எனவே, தேவையான எண்கள் 112 மற்றும் 113 ஆகும்.

    Why this question belongs to Simplification

    Finding consecutive natural numbers ('அடுத்தடுத்து இயல் எண்கள்') based on their sum ('கூடுதல்') requires setting up and simplifying a basic algebraic equation.